Наши первоначальные представления о числе и форме относятся к очень отдаленной эпохе каменного века – палеолита. В течение сотен тысячелетий этого периода люди жили в пещерах, в условиях, мало отличающихся от жизни животных, и их энергия уходила преимущественно на добывание пищи простейшим способом – собиранием ее, где только это было возможно. Люди изготовляли орудия для охоты и рыболоства, вырабатывали язык для общения друг с другом, а в эпоху позднего палеолита украшали свое существование, создавая произведения искусства, статуэтки и рисунки. Возможно, что рисунки в пещерах Франции и Испании (давности порядка 15 тысяч лет) имели ритуальное значение, но несомненно, что в них обнаруживается замечательное чувство формы. Пока не произошел переход от простого собирания пищи к активному ее производству, от охоты и рыболовства к земледелию, люди мало продвинулись в понимании числовых величин и пространственных отношений. Лишь с наступлением этого фундаментального перелома, переворота, когда пассивное отношение человека к природе сменилось активным, мы вступаем в новый каменный век, в неолит. Это великое событие в истории человечества произошло примерно десять тысяч лет тому назад, когда ледяной покров в Европе и Азии начал таять и уступать место лесам и пустыням. Постепенно прекращались кочевые странствия в поисках пищи. Рыболовы и охотники все большевытеснялись первобытными земледельцами. Такие земледельцы, оставаясь на одном месте пока почва сохраняла плодородие, строили жилища, рассчитанные на более долгие сроки. Стали возникать деревни для защиты от непогоды и от врагов-хищников. Немало таких неолитических поселений раскопано. По их остаткам видно., как постепенно развивались такие простейшие ремесла, как гончарное, ткацкое и плотничье. Существовали житницы, так что население могло, производя излишки, запасать продукты на зиму и на случай неурожая. Выпекали хлеб, варили пиво, в эпоху позднего неолита плавили и обрабатывали медь и бронзу. Совершались открытия, были изобретены гончарный круг и тележное колесо, совершенствовались лодки и жилища. Все эти замечательные новшества возникали лишь в пределах той или иной зоны и не всегда распространялись вне ее. Например, американские индейцы узнали о существовании тележного колеса лишь после прохида белых. Тем не менее темп технического прогресса в колоссальной мере ускорился по сравнению с древним каменным веком. Деревни вели между собой значительную торговлю, которая настолько развилась, что можно проследить наличие торговых связей между областями, удаленными на сотни километров друг от друга. Эту коммерческую деятельность сильно стимулировали открытия техники выплавки меди и бронзы и изготовление сначала медных, а затем бронзовых орудий и оружия. Это в свою очередь содействовало дальнейшему формированию языков. Слова этих языков выражали конкретные вещи и весьма немногочисленные абстрактные понятия, но языки уже имели известный запас слов для простых числовых терминов и для некоторых пространственных образов. На таком уровне находились многие племена в Австралии, Америке и Африке, когда они впервые встретились с белыми людьми, а некоторые племена и сейчас живут в таких условиях, так что есть возможность изучить обычаи и способы выражение мыслей. Числовые термины, выражающие некоторые из “наиболее абстрактных понятий, какие в состоянии создать человеческий ум”, как сказал Адам Смит, медленно входили в употребление. Впервые они появиляются скорее как качественные, чем количественные термины, выражая различие лишь между одним (или, вернее “каким-то” – “какой-то” скорее, чем “один человек”) и двумя и многими. Древнее качетвенное происхождение числовых понятий и сейчас еще выясняется в тех особых двоичных терминах, которые имеются в некоторых языках, как например, в греческом и кельтском. С расширением понятия числа большие числа сначала образовывались с помощью сложения: 3 путем сложения 2 и 1, 4 путем сложения 2 и 2, 5 пктем сложения 2 и 3. Возникла необходимость измерять длину и емкость предметов. Единицы измерения были грубы и при этом часто исходили из размеров человеческого тнла. Об этом напоминают такие единицы, как палец, фут (т.е. ступня), локоть. Когда начали строить дома такие, как у земледельцев Индии или обитателей свайных построек Центральной Европы, стали вырабатываться правила, как строить по прямым линиям и под прямым углом. Английское слово “straight” (прямой) родственно глаголу “stretch” (натягивать), что указывает на использование веревки. Английское слово “line” (линия) родственно слову “linen” (полотно), что указывает на связь между ткацким ремеслом и зарождением геометрии. Таков был один из путей, по которому шло развитие математических интересов.